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备考FRM,久期的数学定义介绍!

备考FRM,考生应该清楚计算题量大,而久期(duration)也是计算中重要的考点,考生一定要重视,多加练习。下面,小编就给广大考生介绍一下久期的数学定义

久期也称持续期,是1938年由F.R.Macaulay提出的。它是以未来时间发生的现金流,按照目前的收益率折现成现值,再用每笔现值乘以现在距离该笔现金流发生时间点的时间年限,然后进行求和,以这个总和除以债券目前的价格得到的数值就是久期。概括来说,就是债券各期现金流支付时间的加权平均值。

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久期数学定义

如果市场利率是Y,现金流(X1,X2,...,Xn)的麦考雷久期定义为:D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]

即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx

其中,PVXi表示第i期现金流的现值,D表示久期。

通过下面例子可以更好理解久期的定义。

例子:假设有一债券,在未来n年的现金流为(X1,X2,...Xn),其中Xi表示第i期的现金流。假设利率为Y0,投资者持有现金流不久,利率立即发生升高,变为Y,问:应该持有多长时间,才能使得其到期的价值不低于利率为Y0的价值?【资料下载】点击下载FRM二级思维导图PDF版

通过下面定理可以快速解答上面问题。

定理:PV(Y0)*(1+Y0)^q<=PV(Y)(1+Y)^q的必要条件是q=D(Y0)。

这里D(Y0)=(X1/(1+Y0)+2*X2/(1+Y0)^2+...+n*Xn/(1+Y0)^n)/PV(Y0)

q即为所求时间,即为久期。

上述定理的证明可通过对Y导数求倒数,使其在Y=Y0取局部*小值得到。

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久期就是债券价格相对于利率水平正常变动的敏感度。如果一只短期债券基金的投资组合久期是2.0,那么利率每变化1个百分点,该基金价格将上升或下降2%;一只长期债券型基金的投资组合久期是12.0,那么利率每变化1个百分点,其价格将上升或下降12%。